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<ol><li> 1. SEMESTRE 4 2006-2007 MODULE F412 : MTHODES NERGTIQUES PROBLMES et CORRIGES G.LHERMET-G.VESSIERE </li><li> 2. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 2 SOMMAIRE 1. MTHODE DE CLAPEYRON ............................................................................................................................... 3 2. MTHODE DE MAXWELL-MOHR ET DE CASTIGLIANO.............................................................................. 17 3. MTHODE DES LMENTS FINIS ................................................................................................................... 59 4. PROBLEMES DE SYNTHESE............................................................................................................................. 81 ANNEXES................................................................................................................................................................ 90 ANNEXE A1. INTEGRALES DE MOHR............................................................................................................. 91 ANNEXE A2. MOMENTS FLCHISSANTS DANS QUELQUES CAS SIMPLES :............................................ 98 </li><li> 3. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 3 1. MTHODE DE CLAPEYRON PROBLME N1 Les barres AB et BC (de mme section droite A et de mme matriau) sont articules en A, B et C. Une force verticale P est applique en B. 1) Dterminez l'expression littrale de l'nergie de dformation lastique emmagasine par les deux barres en fonction de P, L, E et A. 2) En dduire l'expression littrale du dplacement vertical du point B. 3) Peut-on avec cette mthode, calculer la dplacement horizontal de B ? Application numrique : P=10kN, L=2m, E=200GPa et A=1cm2 . Calculez la valeur (en J) de l'nergie de dformation lastique et la valeur du dplacement vertical du point B en mm). Rponses : mm83.3 EA )PL22(1 19,14J 2EA L)P22(1 W VB 2 def = + == + = RPONSES N1 1 ) Nous devons pour appliquer la mthode de Clapeyron : dfext WW = calculer lnergie de dformation emmagasine dans les deux barres, et lidentifier avec le travail de la force extrieure DPWext 2 1 = vBext PW 2 1 = +++++= barres Z Z Y Y G XZ L YX df dx EI M EI M GI M GA T GA T EA N W ) 222222 ( 2222 0 22 Compte tenu que les deux barres sont articules en A, B, et C elles ne sont soumises qu des efforts normaux. ( ) ( ) dx EA N dx EA N dx EA N W C B BC X B A AB X barres L X df ) 2 () 2 () 2 ( 22 0 2 +== A C B P 45 L B P 45 L A C </li><li> 4. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 4 Pour trouver les efforts normaux sexercant dans les barres AB et CD, mettons en quilibre le nud B : = = =+ = PF PF FP FF 1 2 2 21 2 0 2 2 0 2 2 Aprs application du principe daction mutuelle PN AB X = 2PNBC X = do : ( ) ( ) dx EA P dx EA P W LL df ) 2 2 () 2 ( 2 00 2 2 + = dx EA P dx EA P W LL df += 2 0 2 0 2 2 [ ] [ ] 2 0 2 0 2 2 LL df x EA P x EA P W += 2 2 22 L EA P L EA P Wdf += ( )221 2 2 += EA LP Wdf 2 ) Appliquons la mthode de Clapeyron : dfext WW = vBext PW 2 1 = ( )221 2 2 += EA LP Wdf En identifiant : ( )221+= EA LP vB 3 ) Non, car lidentification implique quune seule charge. Application numrique : P=30kN, L=2m, E=200GPa et A=1cm2 . ( ) ( ) ( ) Nmm EA LP Wdf 19142221 10010.2002 10.210.10 221 2 3 3232 =+ =+= Wdf=19,142 J ( ) ( ) mm EA LP vB 828,3221 10010.200 10.210.10 221 3 33 =+ =+= vB=3,83 mm B P 45 X Y F2 F1 B P L A C P P 2 P 2 L 2 </li><li> 5. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 5 ROBLME N2 1) Dterminez l'expression de l'nergie de dformation lastique en fonction de P, L, A, E et n. 2) En dduire l'expression du raccourcissement de la barre. Dterminer l'expression du raccourcissement de la barre pour n=1 et n=2. Rponses: )2=(n 8EA 5PL L1)=(n EA PL L n 1 1 2EA PL L n 1 1 4EA LP W 22 2 def == += += RPONSES N2 1) La poutre ABC est soumise de la compression pure : PN AB x = PN BC x = ( ) ( ) dx EA N dx AEn N W C B BC x B A AB x df ) 2 () 2 ( 2 2 2 += ( ) ( ) ( ) ( ) dx EA P dx AEn P dx EA N dx AEn N W L L L L L BC x L AB x df ) 2 () 2 () 2 () 2 ( 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 22 + =+= [ ] [ ] EA LP AEn LP x EA P x AEn P dx EA P dx AEn P W L L L L L L df 442222 2 2 2 2 2 2 02 2 2 2 2 02 2 +=+=+= P L/2 B A n2 A A L/2 C P L/2 B n 2 A A L/2 C A G x Z Y </li><li> 6. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 6 += 2 2 1 1 4 nEA LP Wdf 2) Appliquons la mthode de Clapeyron : dfext WW = Le dplacement associ la charge P en C (hC), est le raccourcissement de la barre L : DPWext 2 1 = hCext PW 2 1 = += 2 2 1 1 42 1 nEA LP P hC += 2 1 1 2 nEA PL hC Ce dplacement tant positif, il seffectue dans le mme sens que la charge . Cest donc bien un raccourcissement de la barre. += 2 1 1 2 nEA PL L Si n=1 EA PL L = Si n=2 EA PL L 8 5 = PROBLME N3 1) Dterminez lexpression de lnergie de dformation lastique en fonction de C, L, G et d. En dduire lexpression de la rotation de la section droite C. 2) Lnergie de dformation lastique admissible est de 12J, L=1m, d=40mm, G=80 GPa. Calculez la valeur du couple maximum admissible C (en Nm).et la valeur de la rotation de la section C (en ). Rponses : 4 2 def dG L12C W = 4 dG 24CL = C = 802.1 Nm C = 1.7 C A B C d 2 d L/2 L </li><li> 7. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 7 RPONSES N3 1) Nous devons pour appliquer la mthode de Clapeyron : dfext WW = ,calculer lnergie de dformation emmagasine dans la poutre ABC, et lidentifier avec le travail exterieur du au couple C. Le dplacement associ au couple C en C (x C ), est la rotation suivant laxe du couple de la section C : DPWext 2 1 = C xext CW 2 1 = +++++= barres Z Z Y Y G XZ L YX df dx EI M EI M GI M GA T GA T EA N W ) 222222 ( 2222 0 22 La poutre ABC est soumise de la torsion pure : CM CB x = CM BA x = ( ) ( ) dx GI M dx GI M dx GI M W A B BA BA x B C CB CB x A C CA x df GGG ) 2 () 2 () 2 ( 222 +== ( ) ( ) dx GI C dx GI C dx GI C dx GI C W L LBA L CB L L BA L CBdf GGGG += + = 2 3 2 2 0 2 2 3 2 2 0 2 22 ) 2 () 2 ( 22 C C d2 d L/2 L A BG x Z Y </li><li> 8. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 8 +=+= BACBBACBdf GGGG IIG LC GI LC GI LC W 1 2 1 224 222 avec 32 4 d ICB G = et ( ) 32 2 4 d I BA G = 4 2 12 dG LC Wdf = C xext CW 2 1 = et 4 2 12 dG LC Wdf = , identifions les 2 expressions : 4 24 dG CLC x = 2) Application numrique : Wdf=12J, L=1m, d=40mm, G=80 GPa Nmm L WdG C dG LC W df df 802121 100012 10.124010.80 12 12 3432 1 4 4 2 = = == C=802,1 Nm rd dG CLC x 0299,0 4010.80 10008021212424 434 = == x C = 171 PROBLME N4 En ne tenant compte que de lnergie de dformation lastique due au moment de torsion et sachant que C0 = 63 Nm, G = 80 GPa, calculez : 1) L'nergie de dformation lastique (en J). 2) La rotation de A (en d). Rponses : = 9.72=J5.35W Adef C0 600 900 56 20 d0 = 18 d = 26 B P D P C A P </li><li> 9. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 9 RPONSES N4 1) Les arbres AB et CD sont soumis de la torsion pure : 0CM AB x = 20 56 0 == CCM CD x ( ) ( ) dx GI M dx GI M W D C CD CD x B A AB AB x df GG ) 2 () 2 ( 22 +== dx GI C dx GI C dx GI C dx GI C W CDABCDABdf GGGG +=+= 900 0 600 0 2 900 0 600 0 2 0 22 ) 2 () 2 ( 2 0 2 += +=+= CDABCDABCDABdf GGGGGG IIG C GI C GI C GI C GI C W 2 22 2 2222 20 56450300 20 56450300450300 000 2 0 ( ) Nmm IIG C W CDABdf GG 5345 2620 3256450 18 32300 10.80 10.63 20 56450300 42 2 43 23 2 22 0 = + = += Wdf=5,35 J Le dplacement associ au couple C0 en A (x A ), est la rotation suivant laxe du couple de la section A : DPWext 2 1 = dans notre cas : A xext CW 0 2 1 = Mthode de Clapeyron : dfext WW = do : rdNmmC A x A x 170,0 10.63 53452 5345 2 1 30 = == x A = 972 d=26mm d0=18mm A BC D C0=63Nm 20mm 56mm 600mm 900mm B C C0 20mm 56mm C 20 56 0 = CC </li><li> 10. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 10 PROBLME N5 Dterminez l'expression littrale du dplacement vertical de A en prenant en compte le moment de flexion et l'effort tranchant. Montrez que si = 0.3 et L/h = 10 l'erreur commise en ngligeant l'effort tranchant est infrieure 1%. Rponses : ) 100 0.65 (1 3EI PL ) L h 2 1 (1 3EI PL GA PL 3EI PL Y 3 2 2 Y 3 Y 3 VA += + +=+= erreur 0.65% RPONSES N5 Dtermination du travail extrieur : Le dplacement associ la charge P en A (v A ), est le dplacement vertical de la section A : DPWext 2 1 = A vext PW 2 1 = Dtermination de lnergie de dformation : +++++= barres Z Z Y Y G XZ L YX df dx EI M EI M GI M GA T GA T EA N W ) 222222 ( 2222 0 22 A P L b B h Y x G G Z Zx P L Zx B A G x h bY </li><li> 11. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 11 Nous devons chercher le Torseur de Section en G de la barre AB : ( ) = 0 0 0 0 sec XLP P tion G G La barre est donc soumise un effort tranchant constantde B A : PTZ = , et un moment de flexion linaire : ( )XLPMY = do : Y df Z df MT Y Y L Z L Y YZ L df WWdx EI M dx GA T dx EI M GA T W +=+=+= ) 2 () 2 () 22 ( 2 0 2 0 22 0 Calculons lnergie de dformation due leffort tranchant : [ ] GA LP x GA P dx GA P dx GA P dx GA T W LLL Z L TZ df 2222 ) 2 ( 2 0 2 0 2 0 22 0 ===== Puis lnergie de dformation due au moment flchissant: ( )( ) ( ) ( ) Y L Y L Y L YY Y LM EI LPxL EI P dxxL EI P dx EI xLP dx EI M W Y df 63222 ) 2 ( 32 0 3 0 2 2 0 22 0 = == == Do : Y MT df EI LP GA LP WWW Y df Z df 62 322 +=+= Application numrique : si = 0.3 et L/h = 10 +=+= E L GA I I LP EI LP GA LP W Y YY df 3262 22322 or ( )+ = 12 E G ( ) + += 232 2 1 1 6 L h EI LP W Y df ( )( ) + += 2 32 1,0 2 3,01 1 6 Y df EI LP W ( ) ( ) +=+=+= 100 65,0 1 6 10.65,01 6 10.5,61 6 32 2 32 3 32 YYY df EI LP EI LP EI LP W Conclusion : Y M EI LP W Y df 6 32 = et 100 65,0 6 32 = Y T EI LP W Z df </li><li> 12. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 12 Lnergie de dformation due leffort tranchant, ne reprsente que moins de 1 % de lnergie de dformation totale. Nous en concluons que lnergie de dformation due leffort tranchant est en rgle gnrale ngligeable par rapport lnergie de dformation due au moment de flexion. Expression littrale du dplacement vertical de A Appliquons la mthode de Clapeyron : dfext WW = A vext PW 2 1 = et += 100 65,0 1 6 32 Y df EI LP W En identifiant : += 100 65,0 1 3 3 Y A v EI PL La flche due leffort tranchant ne reprsente que 0,65% du dplacement vertical de la section A. PROBLME N6 Dterminez en ne tenant compte que du moment flchissant l'expression littrale de la rotation de la section droite C en fonction de C, L, a, b, E et IY. Rponses : 2 Y 33 C L3EI )bC(a + = A C B a b C L x G Z </li><li> 13. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 13 RPONSES N6 Dtermination du Torseur Externe: Voir module F112 Dtermination du Torseur de Section: Voir module F112 (Annexes) Dtermination du travail extrieur : Le dplacement associ au couple C en C (Y C ), est la rotation suivant laxe du couple de la section C : DPWext 2 1 = C Yext CW 2 1 = C L A B G x Z Y C a b C L A BC a b C/L C/L C L A BC a b C/LC/L G x Z Y TZ A B C/L + MY A B Ca/L C C Cb/L + - L C TZ = ( )XL L C MY = X L C MY = </li><li> 14. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 14 Dtermination de lnergie de dformation : +++++= barres Z Z Y Y G XZ L YX df dx EI M EI M GI M GA T GA T EA N W ) 222222 ( 2222 0 22 dx EI M GA T W Y YZ B A df ) 22 ( 22 += Nous devons ngliger lnergie de dformation due leffort tranchant par rapport celle emmagasine par la flexion : dx EI M W B A Y Y df = 2 2 ( ) dx EI XL L C dx EI X L C dx EI M dx EI M W B C Y C A Y B C Y Y C A Y Y df + =+= 2222 22 22 ( ) ( ) ( ) 2 3323 0 3 2 2 2 0 2 2 2 63322 LEI baCXLX LEI C dxXLdxX LEI C W Y L a a Y L a a Y df + = + = += Appliquons la mthode de Clapeyron : dfext WW = C Yext CW 2 1 = et ( ) 2 332 6 LEI baC W Y df + = En identifiant : ( ) 2 33 3 LEI baC Y C Y + = PROBLME N7 Dterminez en ne tenant compte que du moment flchissant l'expression littrale de la flche verticale de la section droite C en fonction de P, L, a, b, E et IY. Rponses : L3EI bPa Y 22 VC = A C B a b P L x G Z </li><li> 15. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 15 RPONSES N7 Dtermination du Torseur Externe: Voir module F112 Dtermination du Torseur de Section: Voir module F112 (Annexes) Dtermination du travail extrieur : Le dplacement associ la charge P en C (v C ), est le dplacement vertical de la section A : DPWext 2 1 = C vext PW 2 1 = P L A B G x Z Y C a b P L A BC a b Pa/L Pb/L P L A BC a b Pa/LPb/L G x Z Y TZ A B Pb/L + MY A B C C + L Pb TZ = ( )XL L Pa MY =X L Pb MY = - Pa/L Pab/L L Pa TZ = </li><li> 16. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 16 Dtermination de lnergie de dformation : +++++= barres Z Z Y Y G XZ L YX df dx EI M EI M GI M GA T GA T EA N W ) 222222 ( 2222 0 22 dx EI M GA T W Y YZ B A df ) 22 ( 22 += Nous devons ngliger lnergie de dformation due leffort tranchant par rapport celle emmagasine par la flexion : dx EI M W B A Y Y df = 2 2 ( ) dx EI XL L Pa dx EI X L Pb dx EI M dx EI M W B C Y C A Y B C Y Y C A Y Y df + =+= 2222 22 22 ( ) ( ) + = += L a a Y L a a Y df XL a X b LEI P dxXLadxXb LEI P W 3322 3 2 0 3 2 2 2 22 0 22 2 2 ( ) ( ) 2 222 2 222 2 32322 666 LEI LabP LEI baabP LEI baabP W YYY df = + = + = LEI abP W Y df 6 222 = Appliquons la mthode de Clapeyron : dfext WW = C vext PW 2 1 = et LEI abP W Y df 6 222 = En identifiant : LEI aPb Y C v 3 22 = </li><li> 17. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 17 2. MTHODE DE MAXWELL-MOHR ET DE CASTIGLIANO PROBLME N8 En appliquant la mthode de MAXWELL-MOHR calculer les dplacements de A et de B. On donne : P = 30 kN, Q= 150 kN, E= 70 GPa. Rponses : mm1,94mm1,12 BA == RPONSES N8 Considrons ltat initial E0, et utilisons la notation charges gnralises Pi et dplacements gnraliss associs Di : A PC B d=20 800 600 Q D=30 800 D=30 d=20 600 A C P2=Q B P1=P Etat initial E0 P 800 D=30 d=20 600 A C Q B </li><li> 18. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 18 Le dplacement gnralis D1 associ la charge gnralise P1 est le dplacement linique dans la direction de P1 de la section A. Le dplacement gnralis D2 associ la charge gnralise P2 est le dplacement linique dans la direction de P2 de la section B. [ ] [ ][ ]PfD = ou = 2 1 2221 1211 2 1 P P ff ff D D 2121111 PfPfD += 2221212 PfPfD += La matrice carre [f] est la matrice de flexibilit de la structure. Chaque coefficient dinfluence fij est calcul par le thorme de Maxwell-Mohr ++++= barres Z jZiZ Y jYiY G jXiXjZiZL 0 jYiYjXiX ij dx) EI )m()m( EI )m()m( GI )m()m( GA )t()t( GA )t()t( EA )n()n( (f Pour les dterminer nous devons dcomposer ltat initial E0, en deux tats unitaires E1 et E2 La poutre ABC, dans les 3 tats E0, E1 et E2 nest soumise qu des efforts normaux : ( ) ( ) dx EA nn f A C jXiX ij = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx EA nn dx EA nn dx EA nn f A B BA jXiXB C CB jXiXA C jXiX ij +== A C P2 = B P1 Etat initial E0 A C B P1=1 A C P2=1 B Etat unitaire E1 Etat unitaire E2 E0 P1E1+P2E2 </li><li> 19. TD-2A-S4-F412 IUTB-LYON1-GMP-DDS Page 19 Pour calculer les fij, nous devons chercher les diagrammes des efforts normaux dans les deux tats unitaires : ( ) ( ) ( ) ( ) dx EA nn dx EA nn f BA XX CB XX += 1400 800 11 800 0 11 11 dx EA dx EA f BACB + = 1400 800 800 011 1111 dx EA dx EA f BACB += 1400 800 800 0 11 11 232311 2010.70 4600...</li></ol>