Exercicios resolvidos quantica

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    05-Jul-2015

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Mecnica quantica

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<ul><li> 1. This is page iPrinter: Opaque thisContents1 Problemas que deram origem mecnica quntica 31.1 Radiao de corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Teoria de troca de Prevost . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Leis de Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Lei de Stefan-Boltzman . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Leis deWien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5 Lei de Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.6 Lei de Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Efeito fotoeltrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Radiao eletromagntica de tomos . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 O tomo de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Postulados de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Calor especfico dos slidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1 Modelo de Dulong e Petit . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2 Modelo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.3 Modelo de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Mecnica ondulatria 332.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Dualidade onda-partcula: hiptese de de Broglie . . . . . . 342.3 Princpio da incerteza de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . 382.4 Pacotes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Equao de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Interpretao da funo de onda (x, t) . . . . . . . . . . . 44</li></ul><p> 2. ii Contents2.7 Reviso dos conceitos de probabilidade . . . . . . . . . . . . 482.8 Valores esperados de varivels dinmicas. Operadores. . . . 502.8.1 Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.2 Definio de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.3 Equao de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . 582.8.4 Relaes de comutao . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Equao de Schrdinger independente do tempo 633.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2 Estados estacionrios emuma dimenso . . . . . . . . . . . 653.3 Estados estacionrios de uma partcula numa caixa: o pooquadrado infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4 Outros potenciais unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 733.4.1 O potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.2 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.3 O poo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.5 O oscilador harmnico simples . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.6 Outromtodo de soluo do problema do oscilador . . . . . 1083.6.1 Normalizao das funes de onda do oscilador har-mnico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.6.2 Ortogonalidade das funes de onda . . . . . . . . . 1194 A equao de Schrdinger em trs dimenses 1214.1 O potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.1.1 Momento angular. Relaes de comutao . . . . . . 1254.1.2 Equaes de autovalores para L2 e Lz . . . . . . . . 1294.2 Funes associadas de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.2.1 Mtodo das sries de potncia . . . . . . . . . . . . . 1314.2.2 Mtodo de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.3 Soluo da equao radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.3.1 A partcula livre em trs Dimenses: coordenadas es-fricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.3.2 Expanso de ondas planas em harmnicos esfricos . 1604.4 Outros potenciais tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 1624.4.1 Poo quadrado de potencial . . . . . . . . . . . . . . 1624.4.2 O oscilador harmnico tridimensional isotrpico . . . 1675 O tomo de hidrognio 1815.1 Sistema de duas partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2 Estados ligados do tomo de hidrognio (E &lt; 0) . . . . . . 1835.2.1 Exemplos de funes Rn,l (r) para o tomo de hidrognio1915.3 Observaes sobre as solues para o tomo de hidrognio . 1935.3.1 Nveis de energia e a notao espectroscpica . . . . 1935.3.2 Distribuio de probabilidades . . . . . . . . . . . . 194 3. Contents 16 Interao de eltrons com campo eletromagntico 1996.1 Sistema clssico sujeito a um potencial eletromagntico . . 2006.2 Sistema quntico sujeito a um potencial eletromagntico . 2036.2.1 Efeito Zeeman normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057 Adio de momentos angulares. Coeficientes de Clebsch-Gordan 2097.1 Anlise clssica de um sistema de partculas no-interagentes 2107.2 Anlise clssica de um sistema de partculas interagentes . . 2117.3 Adio de dois spins 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2127.3.1 Autovalores de Sz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2147.3.2 Autovalores de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2157.4 Adio de doismomentos angulares arbitrrios . . . . . . . 2177.5 Coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . 2248 Teoria de perturbao 2278.1 Teoria de perturbao independente do tempo . . . . . . . . 2288.1.1 Estados no-degenerados . . . . . . . . . . . . . . . 2288.1.2 Aplicaes da teoria de perturbao de primeira ordem2348.1.3 Estados degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2388.1.4 Efeito Stark no tomo de hidrognio . . . . . . . . . 240Index 246 4. 2 Contents 5. This is page 3Printer: Opaque this1Problemas que deram origem mecnica qunticaNo final do sculo passado, os fsicos se depararam com alguns problemasque no tinham respostas dentro da Fsica Clssica, cujas bases j estavambem estabelecidas naquela poca. So eles: Radiao do corpo negro Efeito fotoeltrico Radiao eletromagntica dos tomos Calor especfico dos slidosAtualmente esses problemas so comumente relacionados com a origemda Mecnica Quntica: 6. 4 1. Problemas que deram origem mecnica quntica1.1 Radiao de corpo negroNeste captulo, vamos estudar a radiao de corpo negro. Com base emresultados experimentais, podemos dizer que:a) Todos os corpos emitem radiao eletromagntica quando aquecidos.b) medida que a temperatura aumenta, o corpo muda da coloraovermelha ao branco.c) baixa temperatura a radiao est no infravermelho e, por isso,invisvel.d) Mesmo um corpo estando a uma temperatura mais baixa que o meioambiente ele continua a irradiar.A partir desses resultados nasce a questo: Por que um corpo no seesfria at o zero absoluto?A resposta a esta questo pode ser construda com base nas observaesde vrios pesquisadores. Cronologicamente, tem-se:1.1.1 Teoria de troca de Prevost1809 Teoria de Troca de PrevostExiste um intercmbio permanente de calor entre os corposvizinhos, cada um irradiando como se os outros no estivessempresentes; no equilbrio, cada um absorve exatamente tanto quantoemite.1.1.2 Leis de Kirchoff1859 Lei de KirchoffA razo entre a emitncia e absortncia de um corpo s de-pendeda frequncia da radiao e da temperatura do corpo, e independente da sua natureza.Definition 1 Emitncia (E) a energia radiante emitida por um corpocom frequncias no intervalo e +d por unidade de tempo e por unidadede rea.Definition 2 Absortncia (A) a frao da energia incidente, dentro dointervalo de frequncia e + d, que absorvida pelo corpo. 7. 1.1 Radiao de corpo negro 5Placa 1S, E, AES (1-a)aESaES (1-a)(1-A)ESES - aES = ES (1-a)ES (1-a) (1-A)Placa 2S, e, aFIGURE 1.1.Para uma frequncia , podemos calcular a quantidade de radiao ab-sorvidapela placa 2.a) Devido emisso da placa 1:17 2= E S + a E S(1 a)(1 A)+ aE S(1 a)2(1 A)2 + aEscrevendo k = (1 a)(1 A) &lt; 1 e substituindo na expresso acima,encontra-se17 2= a E S + aE Sk + a E Sk2 + = a E S(1 + k + k2 + )=aE S1 konde usamos o resultado da soma de uma PG com razo q &lt; 1.b) Devido emisso da placa 2: 8. 6 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaPlaca 1S, E, AeS (1-a)(1-A)eaS (1-A)eSeSeS - AeS = eS (1-)eS (1-a) (1-A)Placa 2S, e, aeS (1-a) (1-A)2ES (1-a) (1-A)2FIGURE 1.2.27 2= a e(1 A)S + a e S(1 a)(1 A)2= a e S(1 a)2(1 A)3 + = a e(1 A) S (1 + k + k2 + )=a e(1 A) S1 kAplicando a lei de troca de Prevost para a placa 2, obtem-se:e S =a E S1 k+a e(1 A)S1 ke(1 k)S = a E + a e(1 A)e [1 (1 a)(1 A )] = a E + a e(1 A)e A = a Eea=EAEste resultado nos diz que a relaoEAindepende da natureza dos corpos e,portanto, dependemos apenas da frequncia e da temperatura T. Podemosento dizer que 9. 1.1 Radiao de corpo negro 7 nSdu(,T)FIGURE 1.3.EA= f (, T ), funo universal de e T.1860 - Kirchoff introduziu o conceito de Corpo Negro (A = 1)A partir desse conceito Kirchoff concluiu que a funo de distribuiof (, T ) igual ao poder emissivo de um corpo negro, isto E = f (, T ) poder emissivo de um corpo negroA partir desse resultado, estabeleceu tambm a relao entre a radiaoemitida por um corpo negro e por uma cavidade (um forno, por exemplo),atravs do Teorema da Cavidade, cujo enunciado diz queA radiao dentro de uma cavidade isotrmica temper-aturaT do mesmo tipo que a emitida por um corpo negro.Por este teorema tornou-se possvel calcular a funo universal f (, T ),atravsdo poder emissivo de uma cavidade. Seja u(, T ) a densidade de energiaradiante com frequncia entre e +d emitida por uma cavidade que pos-suium orifcio de rea S. A energia contida no volume V = cS cos no memso intervalo de frequncia u(, T )V d. Assim, a energia emi-tidapelo orifcio num ngulo slido d, considerando o espao isotrpido, d4 u(, T )cS cos d. Integrando d (= sen d d),uma vez que a en- 10. 8 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaergia no depende da direo, encontra-seZ /20cos sin d4Z 20d =14Logo, a energia total emitida pelo orifcio por unidade de tempo comfrequncia no intervalo entre (, + d) c4S u(, T ) d Cavidade corpo negro energia emitida igual a emitncia docorpo, isto ,E S d S f (, T ) d =c4S u(, T ) dEnto:f (, T) =c4u(, T )1.1.3 Lei de Stefan-Boltzman1879 Lei de StefanAs experincias de Tyndall mostraram que a quantidade total de radiaoemitida por um fio de platina, aquecido a 1473 K era11,7 vezes aquelaemitida pelo mesmo fio a uma temperatura de 798 K. Stefan percebeu que14737984= 11, 609 e concluiu que a radiao total proporcional T 4,isto , u(T) = T 4.1884 BoltzmanAps cinco anos, Boltzman d sustentao terica lei de Stefan, combase nas leis da termodinmica. De fato, partindo da equao de estadopara a radiao, p =u3, e usando as duas primeiras leis da termodinmicadQ = dU + p dV,dQ = T dS (U = u V )T dS = dU + pdV,dU = d(uV) = V du + udVT dS = V du + (p + u) dV= V du +43u dV 11. 1.1 Radiao de corpo negro 9dS =VTdu +4u3TdV S(u, V )dS =SuVdu +SVudVdS = M du + N dVM =Su=VT,N =SV=4u3T(dif.exata) uM =uNVVT=u4u3T (u)1T=43T 4u3T 2dTdududT=4uTBoltzman encontrou o resultado obtido por Stefan, isto ,u = T 4Para T = 0, u(0) = 0. ( = 7, 061 1015 erg/cm3 K4). Devemos notarque esta relao no leva em conta a distribuio espectral da radiao,isto , no depende de uma frequncia em particular.1.1.4 Leis de Wien1893 Lei do Deslocamento de Wien:u(, T) = 3f (/T )1896 Forma emprica de Wien:f (/T) = Ce T u(, T) = C3e T T grande1.1.5 Lei de Rayleigh-Jeans1900 Rayleigh-JeansA partir da lei da equipartio (clssica) da energia dos modos nor-maisda radiao eletromagntica no intervalo de frequncia , + d, 12. 10 1. Problemas que deram origem mecnica qunticaRayleigh-Jeans obtiveram u(, T) =82c3 kB T. Comparando com a lei deWien, obtem-se a distribuio de Rayleigh-Jeans: f (/T) =8c3(/T )kB =8kB Tc3O procedimento para obter este resultado, est baseado nos seguintesresultados:Lei da Equipartio: Todo sistema, cuja energia total pode serexpressa como a soma das energias em cada grau de liberdade e,se a energia cintica de cada grau de liberdade proporcional aoquadrado do momento correspondente quele grau de liberdade,ento o valor mdio da energia cintica, por grau de liberdade,estando o sistema temperatura T, igual a K = 12 kB T.Para a radiao:E =Xfi=1ip2i+ iq2i=Xi(Ki + Ui)onde qi e pi so coordenadas normais que descrevem o estado do campoeletromagntico. Assim, a Lei da Equipartio nos diz quehEsi = hKsi + hUsi = kB TEm outras palavras, cada modo normal de vibrao possui uma ener-giatotal igual a kB T. Portanto, para conhecermos a densidade de energiau(, T ) no intervalo de frequncia (, + d) precisamos conhecer quantosmodos normais de vibrao existem neste intervalo. Chamando este nmerode Z(),temosu(, T) = Z() hEi = Z() kB TClculo de Z():a) Caso da vibrao de uma corda: = 2L,2L2,2L3, n =2Ln, n = 1, 2, 3 . . . Frequncia: n =vn= nv2L, v a velocidade de propagao. = n+1 n =v2L. Ento o nmero de oscilaes no intervalo(, + ) :Z() ==2LvEm 1 dim: n 1 o nmero de nodos da vibrao. 13. 1.1 Radiao de corpo negro 11b) Radiao: Cavidade cbica de aresta L , cujas paredes so refletoresideais.nxnynz =qn2x + n2y + n2zc2LConstruimos uma rede cbica uniforme, onde cada ponto correspondea uma frequncia permitida. O nmero de frequncias permitidas entre(, + d) igual ao nmero de pontos da rede entre as esferas de raio re r + dr, onder =qn2x + n2y + n2z=2LcAssim, o nmero de pontos igual ao volume do primeiro quadrante dacasca esfrica de raios r e r + dr,que igual a 184r2dr=r2dr2, isto ,Z0()d =24L2c2 22Lcd=4L3c3 2dRadiao dois estados de polarizao independentes: Z() = 2Z()Z()d =8L3c3 2dEnergia total, por unidade de frequncia:U ()d = Z() d kB T=8L3c3 2kBT dUL3 d =UVd = ud =8c3 2kBT du(, T) =8c3 2kB TComparando com a lei de Wien, encontra-sef (/T) =8c3kB/T1.1.6 Lei de Planck1900 Lei da radiao de PlanckAt ento a dificuldade residia na forma da funo f (/T ), da lei dedeslocamento de Wienu (, T) = 3f (/T )As formas propostas por Wien f (/T) = Ce/T (vlida para / T 1) e por Rayleigh-Jeans f (/T) =8c3kB/T(vlida para /T 1 ) no 14. 12 1. Problemas que deram origem mecnica qunticatinham validade para todo o espectro. Uma nova funo foi obtida porPlanck, como uma interpolao dessas duas, cuja base terica introduziu anoo de quantum de energia:f (/T) =8c3 kB 1e/T 1u(, T) =8hc33eh/kB T 1onde kB h a constante de Planck. A densidade de energia total daradiao do copo negro obtida, integrando-se u(, T ) em todas as fre-quncias,entre 0 e :u(T) =Z0u(, T )dFazendo x =hkB T,obtem-seu(T) =8k4Bc3h3Z0x3dxex 1T 4que a frmula de Stefan.Para obter seu resultado, Planck introduziu um postulado que, no s eranovo, como tambm discordadva dos conceitos da Fsica Clssica. Como apalavra Max Planck: (. . .) Se E for considerada como uma grandeza quepode ser ilimitadamente divisvel, ento a redistribuio pode ser feita deinfinitos modos. Ns, ao contrrio - e este o ponto mais importante detodo o cculo - consideraremos E como uma grandeza composta de umnmero bem determinado de partes iguais finitas, e para isso usaremos aconstante da natureza h = 5, 55 1027 erg s. (. . .) . Este postulado dePlanck hoje pode ser enunciado da seguinte maneira: Qualquer entidadefsica, cuja nica coordenada efetua oscilaes harmnicas simples (isto ,que seja uma funo senoidal do tempo) somente pode ter uma energia total que satisfaa a relao: = nh, n = 1, 2, 3 . . . , onde frequncia deoscilao, e h = 6, 63 1027 erg s. Vejamos como Planck aplicou este postulado ao caso da radiao. In-cialmentedevemos lembrar que as ondas eletromagnticas possuem umacoordenada no sentido admitido no postulado, que as descreve insta...</p>