Statik kitabi

  • Published on
    10-Aug-2015

  • View
    73

  • Download
    10

Embed Size (px)

Transcript

<ol><li> 1. MHENDSLK MEKAN STATK DERS NOTLARI Yrd. Do. Dr. Hseyin BAYIROLU STANBUL 2006 </li><li> 2. 2 indekiler 1 GR 5 1.1 Mekaniin tanm 5 1.2 Temel ilkeler ve grler 5 2 VEKTRLERN VE LEMLERNN TANIMI 6 2.1 Vektrn tanm 6 2.2 Vektrel ilemlerin tanm 6 2.2.1 Vektrn bir say ile arpm 6 2.2.2 Vektrlerin toplam 7 2.2.3 ki Vektrn birbiri ile skaler arpm 7 2.2.4 ki Vektrn birbiri ile vektrel arpm 7 2.2.5 Bir vektrn bir eksen zerindeki izdm 8 3 VEKTRLERN ANALTK NCELENMES 9 3.1 ki boyutlu vektrlerin kartezyen koordinatlarda gsterilii 9 3.2 boyutlu vektrlerin kartezyen koordinatlarda gsterilii 11 3.3 Kartezyen koordinatlarda vektrel ilemler 13 3.3.1 Vektrn bir say ile arpm 13 3.3.2 Vektrlerin toplam 14 3.3.3 ki vektrn skaler arpm 15 3.3.4 ki vektrn vektrel arpm 16 3.3.5 vektrn kark arpm 17 3.3.6 Bir vektrn bir eksen zerindeki izdm 18 4 KUVVET SSTEMLER 19 4.1 Kuvvetin tanm ve vektrle gsterilii 19 4.2 Bir kuvvetin bir noktaya gre momenti 20 4.3 Bir kuvvetin bir eksene gre momenti 21 4.4 Bir kuvvet sisteminin bir noktaya gre momenti ve indirgeme elemanlar (Bir kuvvet sisteminin statik edeeri ) 22 4.5 Bir kuvvet sisteminin deimezleri 24 4.6 Dejenere kuvvet sistemleri 26 4.6.1 Sfra edeer kuvvet sistemi 26 4.6.2 Kuvvet iftine (Tek bir momente) edeer kuvvet sistemi 26 4.6.3 Bilekeye edeer kuvvet sistemi 26 </li><li> 3. 3 4.6.4 Bilekesi olan kuvvet sistemi 27 4.7 Merkezi eksen 27 4.7 Paralel bal kuvvet sistemi ve merkezi 29 5 KTLE MERKEZ 31 5.1 Bir srekli cismin ktle merkezi 31 5.2 Bileik cismin ktle merkezi 38 6 STATK 41 6.1 Giri 41 6.2 kuvvetler ve kesit zorlar 47 6.3 Statiin temel ilkelerinin geerli olduu referans sistemleri 47 6.4 Bir maddesel noktann kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.5 Bir Rijid cismin kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.6 Bir Rijid cisim sisteminin kuvvetler etkisinde dengesi 48 6.7 Dzlemsel kuvvetler etkisindeki cisimlerin dengesi 48 6.8 boyutlu kuvvetler etkisindeki bir rijid cismin dengesi ile ilgili uygulamalar 53 7 SRTNME 60 7.1 Srtnme ve srtnme katsays 60 7.2 Mesnetlerdeki srtnmeler 62 7.3 Halat ve kay kasnak srtnmesi 65 8 YAYILI YKLER 68 8.1 Yayl yklerin tanm 68 8.2 Kirilerde yayl ykler 68 9 KABLOLAR 72 9.1 Genel bilgi 72 9.2 Konsantre ykler etkisindeki kablolar 72 9.3 Yayl ykler etkisindeki kablolar 78 9.3.1 Yatayda dzgn yayl yk etkisindeki kablolar (Parabolik kablo ) 79 9.3.2 Kendi arl etkisinde olan homojen yapdaki kablo veya zincirin dengesi 82 </li><li> 4. 4 10 DZLEM KAFES KR SSTEMLER 86 10.1 Genel bilgi ve tarifler 86 10.2 Basit kafes sistemi 86 10.3 Dm noktalar metodu ile kafes sisteminin analizi 88 10.4 zel dm noktalar 92 10.3 Kesim metodu ile kafes sisteminin analizi 94 11 EREVE VE MAKNALAR 97 11.1 Giri 97 11.2 ereveler 97 11.3 Makineler 101 12 KRLERDEK KEST ZORLARI KESME KUVVET VE ELME MOMENT DAGRAMLARI 104 12.1 Kirilerde kesit zorlar 104 12.2 Kesit zorlar iin kabul edilen pozitif ynler 104 12.3 Yayl yk , kesme kuvveti ve eilme momenti arasndaki bantlar 105 12.4 Kesme kuvveti ve eilme momenti diyagramlar 106 13 VRTEL LER METODU 115 13.1 Giri 115 13.2 Virtel yer deitirme 115 13.3 Bir kuvvetin virtel ii 116 13.4 Bir momentin virtel ii 116 13.5 Virtel iler ilkesi 116 13.6 ok serbestlik dereceli sistemlerde virtel iler ilkesi 119 EK A Daha nceki senelerde sorulan Vize sorular ve cevaplar 122 EK B Daha nceki senelerde sorulan Final sorular ve cevaplar 164 </li><li> 5. 5 BLM 1 GR 1.1Mekaniin tanm Cisimlerin Kuvvetler etkisinde dengesini ve hareketlerini inceleyen bilim dalna mekanik denir. Mekanik cisimlere maddesel nokta, rijid cisim, elastik cisim , plastik cisim ve akkanlar ( sv ve gazlar) olmak zere yaklar.Mekanik eer sadece Maddesel nokta ve rijid cisim modelini inceliyorsa buna mhendislik mekanii denir. Bunun dnda inceledii cisim modeline uygun isimler verilir. rnein elastomekanik veya elastisite, plastisite , hidromekanik , aerodinamik, elektromekanik gibi. Mekanik , Statik ve Dinamik olmak zere iki bilim dalna ayrlr. Statik kuvvetler etkisinde cisimlerin denge koullarn, Dinamik ise hareketlerini inceler. 1.2 Temel ilkeler ve grler Mekaniin temel ald ilkeler Newton yasalardr. Bu yasalar cisimlere maddesel nokta modeli ile yaklaldnda kullanldr. Dier cisim modellerine matematiksel modellerle geniletilmesi gerekir. Benzer ekilde mekanikte kuvvetler maddesel nokta modelinde vektrlerle gsterilebilmesine kar rijid cisim modelinde vektr ve etki dorusu kavramlar beraber kullanlmaldr. Mhendislik mekanii vektrler yardm ile oluturulduu iin vektrleri bize gerektii kadar ayrntl bir ekilde ele almamz gerekir. </li><li> 6. 6 BLM 2 VEKTRLERN VE TEMEL LEMLERNN TANIMI 2.1 Vektrlerin tanm Dorultu , yn ve modl ile tanmlanan byklklere vektrler denir. Bir vektr Koyulatrlm harfler ile veya zerine ok iareti izilen harflerle belirtilir. Vektrler aadaki gibi ynlendirilmi doru paras ile gsterilebilir. V Bir referans sistemine gre izilen bu doru parasnn dorultusu vektrn dorultusunu , yn vektrn ynn ve uzunluu vektrn modln gsterir. Bir vektrn modl | V | ile gsterilir. Sfr vektr : modl sfr olup dorultu ve yn belirsiz olan vektrlere sfr vektr denir ve 0 ile gsterilir. V vektr : V vektr ile ayn dorultu ve modlde fakat ters yndeki vektre V vektr denir. Birim vektr: Modlnn saysal deeri 1 olan vektre birim vektr denir. 2.2 Vektrel ilemlerin tanm Vektrler zerine ina edilen temel ilemler : Vektrn bir reel say ile arpm , vektrlerin toplanmas , skaler ve vektrel arpm gibi ilemlerdir. 2.2.1 Vektrn bir say ile arpm arplan vektrle ayn dorultuda bir vektrdr. Eer arpm katsays pozitif ise ynde ayndr. Modl ise arpm katsays ile vektrn modlnn arpm kadardr. | Vk | = | k | |V | Bir vektrn birim vektr : Vektr modlne blerek elde edilir. Bir eksenin birim vektr : Eksen dorultusunda ve ynndeki herhangibir vektr modlne blerek bulunur. </li><li> 7. 7 2.2.2 Vektrlerin toplam Balanglar ayn noktaya getirilen iki vektrn toplam bu vektrler zerine kurulan paralel kenarn kegeni zerindeki aada gsterilen vektre eittir. A BAC += B 2.2.3 ki vektrn birbiri ile skaler arpm ki vektr arasndaki a: Balanglar ayn noktaya getirilen iki vektr arasndaki 1800 den byk olmayan a iki vektr arasndaki a olarak alnr . A B Skaler arpm sonucunda skaler elde edilir . CosBABA ||||= 2.2.4 ki vektrn birbiri ile vektrel arpm Vektrel arpmn sonucu yine bir vektrdr. nSinBABAC )||||( == Burada Vektrel arpm sonunda elde edilen vektr her iki vektre dik dorultuda ve SinBA |||| modlnde bir vektrdr. Yn ise sa el kural ile bulunabilir. </li><li> 8. 8 Sa el kural ile elde edilen yn , ba parmak dndaki sa el parmaklar birinci vektr ikinci vektre doru dndrme ynnde tutulursa ba parman gsterdii yndr. BAC = B n h A SinBA |||| ifadesinde | A | Sin h= olduundan A ve B vektrlerinin birbiri ile vektrel arpmnn modl bu vektrlerin balanglar ayn noktaya getirilirse zerine kurulan paralelkenarn alanna eit olduu grlr. 2.2.5 Bir vektrn bir eksen zerindeki izdm V V CosVV ||= = UVV burada U ekseninin birim vektrdr. </li><li> 9. 9 BLM 3 VEKTRLERN ANALTK NCELENMES 3.1 ki boyutlu vektrlerin kartezyen koordinatlarda gsterilii y j V Vy i x Vx Dzlemde bir vektr jViVV yx += eklinde x ve y ekseni dorultusundaki vektrlerin toplam cinsinden yazlabilir. Bu vektrn modl ise aadaki gibi pisagor teoremi yardm ile bulunur. 22 yx VVV += Bir vektrn dorultusunda ve ynndeki birim vektr ise vektr modlne blnerek elde edilir. V V U V =)( , j V V i V V U yx V +=)( </li><li> 10. 10 Aadaki gibi birim vektrn katsaylarnn vektrn eksenlerle yapt alarn kosinslerine eit olduu gsterilebilir. x x U V V Cos == , y y U V V Cos == Problem 3.1.1 Bir dzlemdeki yatay dorultu ile 300 derecelik a yapan ve modl 80 birim olan vektr ve birim vektrn kartezyen koordinat sisteminde yaznz. zm: y yV V j x i xV jViVV yx += 80V birim= , 0 30 = xV V Cos= , yV V Sin= 0 80 30xV Cos= , 69 28xV , birim= 0 80 30yV Sin= , 40yV birim= 69 28 40V , i j= + j V V i V V U yx V +=)( , 69 28 40 80 80(V) , U i j= + 0 866 0 5(V) U , i , j= + </li><li> 11. 11 3.2 boyutlu vektrlerin kartezyen koordinatlarda gsterilii y j H F B A yV V xV i E x O zV k C D Z boyutlu uzayda bir vektr kartezyen koordinat sisteminde kVjViVV zyx ++= eklinde x ve y ekseni dorultusundaki vektrlerin toplam cinsinden yazlabilir. Bu vektrn modl ise aadaki gibi pisagor teoremi yardm ile bulunur. 222 zyx VVVV ++= Bir vektrn dorultusunda ve ynndeki birim vektr ise vektr modlne blnerek elde edilir. V V U V =)( , k V V j V V i V V U zyx V ++=)( Aadaki gibi birim vektrn katsaylarnn vektrn eksenlerle yapt alarn kosinslerine eit olduu gsterilebilir. x x U V V Cos == , y y U V V Cos == , z z U V V Cos == Problem 3.2.1 Bir V vektrnn balangc kartezyen koordinat sisteminin balang noktasna yerletirildiinde u noktas A (60,30,20) koordinatlarnda ise bu vektrn a) bu koordinat sistemindeki yazln b) modln c) birim vektrn d) koordinat eksenleri ile yapt alar bulunuz. </li><li> 12. 12 zm: y H xV F B A ( 60 ; 30 ; 20 ) V yV O x z zV a) kVjViVV zyx ++= 60 30 20V i j k= + + b) 222 zyx VVVV ++= , 2 2 2 60 30 20V ( ) ( ) ( )= + + 70V = c) V V U V =)( , 60 30 20 70(V) i j k U + + = 6 3 2 7 7 7(V) U i j k= + + d ) x x U V V Cos == , y y U V V Cos == , z z U V V Cos == 6 7 Cos = , 3 7 Cos = , 2 7 Cos = 0 31 = , 0 64 62, = , 0 73 4, = </li><li> 13. 13 3.3 Kartezyen koordinatlarda vektrel ilemler 3.3.1 Vektrn bir say ile arpm Kartezyen koordinat sisteminde bir vektr kVjViVV zyx ++= eklinde yazlrsa bu vektrn bir says ile arpm aadaki ekilden grld gibi dikdrtgenler prizmasnn btn lleri ayn says ile arplarak elde edildiinden kVjViVV zyx ++= eklinde yazlabilir. y Vz V V Vy Vy Vz x Vx Vx z Bir vektrn bir say ile arpm vektrn dorultusunu deitirmez. Eer arpm katsays pozitif ise yn de deimez. Problem 3.3.1.1 Problem 3.2.1 de hesaplanan 60 30 20V i j k= + + vektrnn =2,5 ile arpmndan elde edilen V vektrnn a) ifadesini b) modln c) birim vektrn hesaplaynz. zm: a) kVjViVV zyx ++= 2 5 60 2 5 30 2 5 20V , i , j , k = + + 150 75 50V i j k = + + b) 2 2 2 150 75 50V ( ) ( ) ( ) = + + </li><li> 14. 14 175V = , 2 5 70 175V , = = V V = c) yx z ( V) VV V U i j k V V V = + + 2 5 60 2 5 30 2 5 20 2 5 70 2 5 70 2 5 70( V) , , , U i j k , , , = + + 6 3 2 7 7 7( V) U i j k = + + ( V) (V) U U = 3.3.2 Vektrlerin toplam ekilde gsterildii gibi ki boyutlu uzayda A ve B vektrnn toplam olan C vektrnn koordinat eksenleri dorultusundaki bileenleri A ve B vektrlerinin ayn dorultudaki bileenleri toplanarak bulunur. jAiAA yx += , jBiBB yx += jBAiBABA yyxx )()( +++=+ y E By D B Cy = Ay+By A BAC += Ay x O Ax Bx Cx =Ax+Bx ekildeki ODE geninden OE kenarnn uzunluu OD ve DE kenarlarnn uzunluklar toplamndan byk olamyaca bilindiinden A B A B+ + eitsizlii yazlabilir. Ayn ilemler boyutlu uzaya aadaki gibi uygulanabilir. kAjAiAA zyx ++= , kBjBiBB zyx ++= kBAjBAiBABA zzyyxx )()()( +++++=+ </li><li> 15. 15 Problem 3.3.2.1 6 3 2A i j k= + + vektr ile 12 3 4B i j k= + + vektrnn a) modllerini b) bu vektrlerin toplamn c) toplam vektrn modln hesaplaynz. zm: a) 2 2 2 6 3 2A = + + , 7A = 2 2 2 12 3 4B ( ) ( ) ( )= + + , 13B = b) 6 12 3 3 2 4A B ( )i ( )j ( )k+ = + + + + + 18 6 6A B i j k+ = + + c) 2 2 2 18 6 6A B ( )+ = + + 19 9A B ,+ = 3.3.3 ki vektrn skaler arpm Aada gsterildii gibi A ve B vektrnn skaler arpm bu vektrlerin ayn dorultudaki bileenleri arpm toplanarak bulunur ve sonu skalerdir. kAjAiAA zyx ++= , kBjBiBB zyx ++= zzyyxx BABABABA ++= Skaler arpmn tanmndan skaler arpmn mutlak deeri vektrlerin modlleri arpmndan byk olamaz. Problem 3.3.3.1 6 3 2A i j k= + + vektr ile 12 3 4B i j k= + + vektrnn a) skaler arpmn b) modlleri arpmn hesaplaynz. c) aralarndaki ay hesaplaynz. zm: a) 6 12 3 3 2 4A B = + + 89A B = b) 7A = , 13B = 13 7A B = , 91A B = </li><li> 16. 16 c) skaler arpmn tanmndan A B A B Cos = A B Cos A B = 89 91 Cos = 0 12 04, = 3.3.4 ki vektrn vektrel arpm Sa kartezyen koordinat sisteminde koordinat eksenlerinin birim vektrlerinin vektrel arpm aadaki gibi yazlr. kji = , kij = , ikj = , ijk = jik = , jki = Sa eksen sisteminde ifade edilen A ve B vektrnn vektrel arpm olan C vektr aada gsterilen determinantn alm yardm ile hesaplanabilir. kAjAiAA zyx ++= , kBjBiBB zyx ++= )()( kBjBiBkAjAiABA zyxzyx ++++= +++= )]()[()]()[()]()[( kBiAjBiAiBiABA zxyxxx ++++ )]()[()]()[()]()[( kBjAjBjAiBjA zyyyxy z x z y z z[(A k) (B i)] [(A k) (B j)] [(A k) (B k)]+ + + zyx zyx BBB AAA kji BA = Problem 3.3.4.1 6 3 2A i j k= + + vektr ile 12 3 4B i j k= + + vektrnn a) C A B= vektrel arpmn b) C vektrel arpm vektr ile A vektr arasndaki ay c) C vektrel arpm vektr ile B vektr arasndaki ay hesaplaynz. zm: a) x y z x y z i j k C A B A A A B B B = = , 6 3 2 12 3 4 i j k C A B= = 3 4 2 3 2 12 6 4 6 3 3 12C A B ( )i ( )j ( )k= = + + 6 18C A B i k= = </li><li> 17. 17 b) 6 18 6 3 2C A ( i k) ( i j k) = + + 6 6 18 2 0C A = = olduundan C vektr A vektrne diktir. c) 6 18 12 3 4C B ( i k) ( i j k) = + + 6 12 18 4 0C B = = olduundan C vektr B vektrne diktir. 3.3.5 vektrn kark arpm ki vektrn vektrel arpmndan elde edilen vektrn bir dier vektrle skaler arpmna bu vektrn kark arpm denir. kAjAiAA zyx ++= kBjBiBB zyx ++= kCjCiCC zyx ++= zyx zyx zyx CCC BBB AAA CBA = )( Lineer cebirden bilindii gibi bir Determinantta iki satrn yeri deiirse determinantn iareti deiir , satrlarn yeri iki veya ikinin katlar saysnda deiirse determinantn deeri deimez . Bu bilinen zellikten faydalanarak aadaki eitlikler yazlabilir. )()()( BACACBCBA == </li><li> 18. 18 3.3.6 Bir vektrn bir eksen zerindeki izdm V V = UVV kVjViVV zyx ++= kUjUiUU zyx ++= zzyyxx UVUVUVV ++= Problem 3.3.6.1 12 3 4V i j k= + + vektrnn kartezyen koordinat eksenleri ile pozitif blgede eit alar yapan ve pozitif blgeye doru ynelmi eksenindeki izdmn ve bu eksenle yapt ay hesaplaynz. zm : = UVV zdm alnacak eksenin birim vektr bu eksen ynndeki bir vektr modlne blerek elde edilir. 2 2 2 1 1 1 i j k U + + = + + , 1 1 1 3 3 3 U i j k = + + 1 1 1 12 3 4 3 3 3 V ( i j k) ( i j k) = + + + + , 1 1 1 12 3 4 3 3 3 V = + + 19 3 V = V V U V Cos = = V Cos V = 19 3 13 Cos = 0 844Cos , = 0 32 45, = </li><li> 19. 19 BLM 4 KUVVET SSTEMLER 4.1 Kuvvetin tanm ve vektrle gsterilii Bir cismin eklini veya hzn deitiren ve baka cisimler tarafndan uygulanan fiziksel etkiye kuvvet denir. Kuvvet dorultu yn ve bir iddet ierdiinden vektrle gsterilebilir. Yalnz ayn vektrle gsterilmesine ramen kuvvet cismin farkl yerlerine uygulandnda fiziksel etkisi farkl olur. Bundan dolay kuvvet zellikle rijid cisim mekaniinde vektr ve etki dorusu ile birlikte dnlmelidir. Etki dorusu F Kuvvet vektr </li><li> 20. 20 4.2 Bir kuvvetin bir noktaya gre momenti OM o F h A OM F h= OM OA F= = SinOAFFOA hSinOA = Buradan OM F h= olduu grlr. O x y z x y z i j k M A A A F F F = O y z z y z x x z x y y xM (A F A F ) i (A F A F ) j (A F A F ) k= + + Problem 4.2.1 A(3,8,1) ve B(7,4,4) noktalarndan geen 130 N. iddetinde olan ve A dan B ye doru ynelmi F kuvvetinin O(0,0,0) noktasna gre momentini bulunuz. OM OA F= 3 8OA i j k= + + , ABF F U= AB AB U AB = , AB OB OA= </li><li> 21. 21 7 4 4 3 8AB ( i j k) ( i j k)= + + + , 4 12 3AB i j k= + 2 2 2 4 12 3 4 12 3 AB i j k U ( ) + = + + , 4 12 3 13 13 13 ABU i j k= + 40 120 30F i j k= + 3 8 40 120 30OM ( i j k) ( i j k)= + + + 3 8 1 40 120 30 O i j k M = , 360 50 680OM i j k= 4.3 Bir kuvveti...</li></ol>